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材质

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旋转之二 - 三维空间中的旋转:罗德里格旋转公式

1760619**** 发表了文章 • 0 个评论 • 613 次浏览 • 2019-10-10 17:22 • 来自相关话题

先来推导三维空间中的常用旋转公式。 三维空间中的旋转 如果  ...查看全部

先来推导三维空间中的常用旋转公式。



三维空间中的旋转



如果 [公式] 绕着空间中的一个单位向量 [公式] 旋转,旋转我们采用右手坐标系:





 



可以把 [公式] 分解成平行于 [公式] 的向量 [公式] 和 [公式] :





 



[公式] 绕 [公式] 旋转并不会造成什么改变。



当 [公式] 平行于旋转轴 [公式] 时,旋转 [公式] 角度之后的 [公式]为:



[公式]



根据正交投影公式:



[公式]



观察 [公式] :





 



它可以表示为2D空间上的旋转,我们需要一组基来描述,可以选择 [公式] 和 [公式] , [公式] 可以通过叉乘构造出来,它垂直于 [公式] 和 [公式] ,注意右手准则:



[公式]



因为 [公式] 是单位向量,上式算出来的 [公式] 模长和 [公式] 相同,所以下图是准确的:





 



有了这些条件之后:



[公式]



当 [公式] 正交于旋转轴 [公式] 时,旋转 [公式] 角度之后的 [公式]为:



[公式]



所以最终旋转得到的 [公式] :



[公式]



又:



[公式]



将上述结论, [公式] 以及 [公式] 代入回 [公式] :



[公式]



3D空间中任意一个 [公式] 沿着单位向量 [公式] 旋转 [公式] 角度之后的 [公式] 为:



[公式]



 



上述公式也就是 罗德里格旋转公式(Rodrigues’ Rotation Formula) ,上述过程也就是其证明/推导过程。



 



(转载至知乎用户二圈妹


三维cad软件核心技术是什么?

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匿名用户 发起了问题 • 1 人关注 • 0 个回复 • 699 次浏览 • 2019-10-10 17:13 • 来自相关话题