先来推导三维空间中的常用旋转公式。

三维空间中的旋转

如果  绕着空间中的一个单位向量  旋转，旋转我们采用右手坐标系:

可以把  分解成平行于  的向量  和  :

 绕  旋转并不会造成什么改变。

当  平行于旋转轴  时，旋转  角度之后的 为:

根据正交投影公式：

观察  ：

它可以表示为2D空间上的旋转，我们需要一组基来描述，可以选择  和  ,  可以通过叉乘构造出来，它垂直于  和  ，注意右手准则：

因为  是单位向量，上式算出来的  模长和  相同，所以下图是准确的：

有了这些条件之后：

当  正交于旋转轴  时，旋转  角度之后的 为:

所以最终旋转得到的  :

又：

将上述结论，  以及  代入回  ：

3D空间中任意一个  沿着单位向量  旋转  角度之后的  为：

上述公式也就是 罗德里格旋转公式（Rodrigues’ Rotation Formula） ，上述过程也就是其证明/推导过程。

（转载至知乎用户二圈妹）