旋转之二 - 三维空间中的旋转:罗德里格旋转公式

先来推导三维空间中的常用旋转公式。

三维空间中的旋转

如果 

 绕着空间中的一个单位向量   旋转，旋转我们采用右手坐标系:

 

可以把 

 分解成平行于   的向量   和   :

 

 绕   旋转并不会造成什么改变。

当 

 平行于旋转轴 

 时，旋转 

 角度之后的 

为:

根据正交投影公式：

观察 

 ：

 

它可以表示为2D空间上的旋转，我们需要一组基来描述，可以选择 

 和   ,   可以通过叉乘构造出来，它垂直于   和   ，注意右手准则：

因为 

 是单位向量，上式算出来的   模长和   相同，所以下图是准确的：

 

有了这些条件之后：

当 

 正交于旋转轴 

 时，旋转 

 角度之后的 

为:

所以最终旋转得到的 

 :

又：

将上述结论， 

 以及 

 代入回 

 ：

3D空间中任意一个 

 沿着单位向量   旋转   角度之后的   为：

 

上述公式也就是 罗德里格旋转公式（Rodrigues’ Rotation Formula） ，上述过程也就是其证明/推导过程。

 

（转载至知乎用户二圈妹）