旋转之二 - 三维空间中的旋转:罗德里格旋转公式
先来推导三维空间中的常用旋转公式。
三维空间中的旋转
如果
绕着空间中的一个单位向量 旋转,旋转我们采用右手坐标系:
可以把
分解成平行于 的向量 和 :绕 旋转并不会造成什么改变。
当 平行于旋转轴 时,旋转 角度之后的 为:
根据正交投影公式:
观察
:
它可以表示为2D空间上的旋转,我们需要一组基来描述,可以选择
和 , 可以通过叉乘构造出来,它垂直于 和 ,注意右手准则:因为
是单位向量,上式算出来的 模长和 相同,所以下图是准确的:
有了这些条件之后:
当 正交于旋转轴 时,旋转 角度之后的 为:
所以最终旋转得到的
:又:
将上述结论, 以及 代入回 :
3D空间中任意一个
沿着单位向量 旋转 角度之后的 为:
上述公式也就是 罗德里格旋转公式(Rodrigues’ Rotation Formula) ,上述过程也就是其证明/推导过程。
(转载至知乎用户二圈妹)